Capítulo 3 – Propriedades geométricas dos perfis estruturais

Propriedades geométricas dos perfis estruturais

No processo de cálculo estrutural é necessário possuir determinadas informações para prosseguir com o processo. Entre as informações mais importantes estão as propriedades geométricas de seções transversais, pois é com base nessas propriedades que são calculadas características importantes da estrutura, como deformação (flecha) em vigas, Resistência ao Momento Fletor, Resistência à tração, etc.

As propriedades geométricas mais utilizadas são:

  • Área da seção transversal (A[cm²])
  • Posição do centro de gravidade (G[cm])
  • Momentos de Inércia em relação aos eixos X e Y (Ix e Iy[cm^4])
  • Raios de giração em relação aos eixos X e Y (rx e ry[cm])
  • Momentos Resistentes em X e em Y (Wx e Wy[cm³])

Para perfis simples, essas informações já são largamente catalogadas em tabelas de fabricantes e livros. você também pode consultar essas tabelas aqui no site através desse link

Porém, por vezes se faz necessário calcular essas propriedades devido a inexistência de um perfil nessas tabelas, ou pela criação de perfis personalizados, ou compostos para satisfazer necessidades construtivas na obra.

Aqui nesse artigo vamos explicar brevemente como efetuar o cálculo de algumas propriedades geométricas importantes.

Áreas de figuras geométricas planas

A área da seção transversal dos perfis é uma importante propriedade geométrica que o calculista deve dominar.

A área define a quantidade de material que existe naquela seção transversal, e podemos utilizá-la sempre que precisarmos calcular o peso de uma estrutura, de um perfil ou de uma peça qualquer.

Esforços axiais, como tração e compressão, incidem perpendicularmente ao plano da seção transversal  e também dependem do conhecimento da área para serem calculados.

A área também é base para o cálculo de outras propriedades geométricas, como Momento de Inércia (I), Raio de giração (r) e Módulo de Resistência(W).

A área de uma figura geométrica é dada pela equação:

[latex] A=\int _{ A }^{ }{ dA } [/latex]

Mas não se assuste com essa definição clássica de área de figuras planas, na prática você vai aplicar a soma de áreas de figuras geométricas já bem conhecidas nos seus cálculos.

Por exemplo, um perfil I soldado como o da figura abaixo pode ter sua área de seção transversal calculada à partir do cálculo de suas partes desmembradas (somando-se as áreas dos retângulos).

Perfil I Soldado, série CS, Série VS, Série CVS, Série VSM
Perfil I Soldado

Observe que podemos desmembrar esse perfil em 3 retângulos, de forma que se calcularmos as áreas dos retângulos, podemos obter a área total da seção transversal.

Por exemplo, o Perfil Soldado VS 200 X19 possui as seguintes dimensões:

bf = 12cm , tf = 0,63cm, tw= 0,475cm, h = 18,74cm.

Desmembrando em três retângulos, temos:

Retângulo 1: Mesa superior do perfil

[latex] A1 = bf . tf[/latex] = [latex] 12 . 0,63 = 7,56{ cm }^{ 2 }[/latex]

Retângulo 2:  Alma do Perfil

[latex] A2 = tw . h[/latex] = [latex] 0,475 . 18,74 = 8,90{ cm }^{ 2 }[/latex]

Retângulo 3:  Mesa inferior do perfil
[latex] A3 = bf . tf[/latex] = [latex] 12 . 0,63 = 7,56{ cm }^{ 2 }[/latex]

Soma das áreas: :  Área Total
[latex] Area= A1 + A2 + A3[/latex] = [latex]7,56 + 8,90 + 7,56 = 24,02{ cm }^{ 2 }[/latex]

Clique aqui para ver exercícios resolvidos de cálculo de figuras geométricas planas

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Calculando o peso de um perfil utilizando a área da seção transversal.

Sabe-se que o aço tem peso específico igual a  7850 kg/m³

logo, se calcularmos a área em cm², basta multiplicarmos esse valor por 0,785 para obter o peso do perfil por metro linear.

No caso do perfil I Soldado 200X19, do exemplo acima teríamos:

P = 0,785 x 24,05

P = 18,87 kg/m.

Posição do centro de gravidade

O centro de gravidade de uma figura geométrica é o centro de massa dessa figura.

é o ponto de equilíbrio da figura e pode inclusive se localizar fora da mesma.

Vamos com um exemplo que fica mais fácil compreender:

Considere uma chapa de aço plana, horizontal, sujeita à ação da gravidade e suspensa por um cabo de aço. Para que essa chapa fique equilibrada, é necessário que o cabo de aço esteja fixado à chapa em um ponto específico, o qual chamamos de baricentro, ou centro de gravidade G.

 

cg-1

por intuição e experiência, você já sabe que se a espessura da chapa for constante, basta instalar o cabo no centro geométrico da peça para que ela se equilibre.

Também por intuição você com certeza consegue deduzir que, se a chapa está sujeita a uma força constante distribuída em toda a superfície (gravidade), para que haja o equilíbrio, temos que ter quantidade de material igualmente distribuída ao redor do ponto de apoio.

Se aplicarmos a força fora do centro geométrico da peça, podemos notar que ela se desequilibra e tende a girar em torno desse eixo:

cg-7

Isso acontece por que a a cada centímetro que nos afastamos do ponto de apoio, o Momento aumenta, levando a peça a perder seu equilíbrio estático, tendendo ao giro.

É o mesmo princípio da gangorra: duas pessoas de pesos iguais em uma gangorra precisam estar à mesma distância para que haja equilíbrio estático. Caso uma dessas pessoas se movimenta para mais próximo do centro de rotação da gangorra, a mesma se desequilibra, apesar de terem massas iguais.

cg-6

(MAS O QUE ISSO TEM A VER COM DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTURAS METÁLICAS?)

Lembre-se de que as forças aplicadas nos perfis metálicos se distribuem axialmente, ou seja, trabalham no sentido do comprimento das peças, exatamente como a força da gravidade atua na chapa do nosso exemplo. E somente conhecendo o centro de gravidade de uma peça, podemos calcular outras propriedades importantes que veremos a seguir.

Tudo bem, isso parece muito fácil em uma chapa retangular… mas como encontrar o centro de massa de uma peça com geometria mais complexa?

Para responder a essa pergunta, precisamos compreender tudo isso na sua forma matemática:

Vamos dividir a chapa em diversos quadrados idênticos, que serão chamados de unidades de massa.

cg-10

Como sabemos que quanto mais distante uma unidade de massa está do ponto de apoio, maior o momento que ela transmite ao sistema, atribuímos um valor crescente, variando de 1 a 4 representando o Momento com que ela contribui. A esse valor chamaremos de Unidade de Momento.

As faces A e B representam a somatória das Unidades de momento na direção X da chapa, enquanto as faces C e D representam a somatória das Unidades de Momento na direção Y da chapa.

se a somatória das Unidades de Momento na face A for igual à somatória das Unidades de Momento na face B, então a placa não gira em relação ao eixo X

o mesmo acontece para a somatória das Unidades de Momento nas faces C e D, só que esse equilíbrio se dá em relação ao eixo Y.

Digamos que sejam retiradas algumas unidades de massa, conforme a figura abaixo:

cg-11

a forma geométrica dessa figura agora é simétrica somente em relação ao eixo X, e não é simétrica em relação ao eixo Y.

dessa forma, as faces A e B (relativas ao equilíbrio em relação ao eixo X) possuem somatórios de Unidades de Momento iguais (62 Unidades de Momento) mas as faces C e D apresentam uma discrepância (80 Unidades de momento em C contra 26 Unidades de Momento em D). dessa forma, a peça tende a girar no sentido anti-horário em torno do eixo Y, e não está mais em equilíbrio estático.

para equilibrar essa peça, devemos mudar o ponto de apoio.

se deslocarmos o ponto de apoio 1 unidade para a esquerda, obtemos a condição:

cg-12

Repare que ao deslocarmos o ponto de apoio na direção do eixo X, nada muda nas faces A e B, ou seja, continuam com somatório de 62 Unidades de Momento em cada face, mas alteramos a distribuição das unidades de massa em relação ao eixo Y, de forma que do ponto de apoio para a esquerda temos agora somente 3 unidades de distância e para a direita passamos a ter 5 unidades de distância.

Ao somarmos as unidades de momento na face C obtemos 48 unidades, e agora para a face D, apesar de os momentos se distribuírem de forma diferente, obtemos a mesma quantidade (48 Unidades de Momento) gerando dessa forma o equilíbrio em relação ao eixo Y.

Este novo ponto de apoio é o centro de massa da peça.

matematicamente podemos dizer que as coordenadas do centro de gravidade (C.G.) podem ser expressas pela Somatória dos Momentos dividido pela somatória das áreas da figura.

Isso que acabamos de afirmar pode ser escrito assim, pela expressão:

[latex] Xcg=\frac { \int _{ A }^{ }{ x.dA } }{ A } [/latex]

que quando resolvida fica:

[latex] Xcg=\frac { \sum { ycg.A } }{ \sum { Ai } } [/latex]

note que a expressão:[latex] { ycg.A } [/latex] também é definida como Momento estático da figura plana (Msx)

as expressões acima devem ser resolvidas para X e para Y.

por exemplo, considere o perfil composto abaixo:

cg-13

adotaremos para essa peça o ponto inferior esquerdo como ponto de origem (coordenadas 0,0)

observe que ela é formada por duas peças retangulares, e sabemos que as coordenadas dos centros de gravidade de peças retangulares coincidem com o centro geométrico das mesmas. portanto marcamos esses pontos com G1 e G1.

as coordenadas do ponto G1 são: (x=50, y=110)

as coordenadas do ponto G2 são: (x=10, y=50)

A área da peça composta é formada pela soma das duas áreas: Atotal = A1 + A2

A1 = A2 = 100×20 = 400mm²

Atotal = 100×20 + 100×20 = 4000 mm²

Os Momentos estáticos para a peça 1 e 2 respectivamente são:

Para a peça 1:

[latex] Msx1=yG1.A1 [/latex]

[latex] Msy1=xG1.A1 [/latex]

Para a peça 2:

[latex] Msx2=yG2.A1 [/latex]

[latex] Msy2=xG2.A1 [/latex]

 

Resolvendo para a peça 1:

[latex] Msx1=110.400= 44000 mm^3 [/latex]

[latex] Msy1=50.400=20000mm^3 [/latex]

Sabemos agora os momentos estáticos presentes na peça 1

calculemos os momentos da peça 2

[latex] Msy2=50.400=20000mm^3 [/latex]

[latex] Msy2=10.400= 4000mm^3 [/latex]

 

Lembrando da definição:

As coordenadas do centro de gravidade de uma figura geométrica plana é obtida pela soma dos Momentos Estáticos em relação a cada eixo dividido pela Somatória das Áreas que compõem a figura

Temos:

[latex] Xcg=\frac { \sum { Msyi } }{ \sum { Ai } } [/latex]

substituindo:

[latex] Xcg=\frac { Msy1\quad +\quad Msy2 }{ A1\quad +\quad A2 } [/latex]

[latex] Xcg=\frac { 20000\quad +\quad 4000 }{ 400\quad +\quad 400 } =\frac { 24000 }{ 800 } =30 [/latex]

 

Encontrando a coordenada Y:

 

[latex] Ycg=\frac { \sum { Msxi } }{ \sum { Ai } } [/latex]

substituindo:

[latex] Ycg=\frac { Msx1\quad +\quad Msx2 }{ A1\quad +\quad A2 } [/latex]

[latex] Ycg=\frac { 44000\quad +\quad 20000 }{ 400\quad +\quad 400 } =\frac { 64000}{ 800 } =80 [/latex]

portanto, as coordenadas para o centro de gravidade dessa peça são respectivamente (x=30, y=80)

 

isso significa que uma chapa de espessura constante pendurada pelas coordenadas 30 e 80 ficaria equilibrada na horizontal.cg-14

Ferramentas úteis

Você também pode extrair o centro de gravidade de figuras geométricas planas utilizando o Autocad. Assista o vídeo a seguir para aprender como

Apresentação3